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Eine Zusammenfassung meiner Dissertation
Im Rahmen der Arbeit wurde ein Algorithmus zur Lösung der dreidimensionalen Navier-Stokes Gleißchungen für inkompressible Fluide mit freier Oberfläche entwickelt. Der Algorithmus basiert auf einer fractional step Methode, wobei die Grundgleichungen in Anteile mit gleichen mathematischen Eigenschaften aufgespalten werden, die dann mit optimal angepaßten Verfahren schrittweise gelöst werden (operator splitting). Es werden für alle Variablen die gleichen linearen Ansatzfunktionen verwendet. Das prismatische 6-Knoten Element stellt einen Kompromiß zwischen Genauigkeit der Interpolation, Komplexität des Modells und benötigter Rechenzeit dar. Die zeitliche Diskretisierung wird mit einem Finite-Differenzen Verfahren unter Zugrundelegung der sigma-Transformation durchgeführt, was sich für die meisten geophysikalischen Problemstellungen als geeignete Vorgehensweise erwiesen hat.
Der neue Algorithmus ist Bestandteil des Programmsystems TELEMAC, das von der Electrité de France (EDF) im Laboratoire National d'Hydraulique in Chatou für die Simulation der Strömungen mit freier Oberfläche und den Stofftransport entwickelt wurde. Das neue Modell stellt eine Weiterentwicklung des bereits existierenden dreidimensionalen Codes TELEMAC3D dar, dessen Anwendungsbereich infolge einer hydrostatischen Druckapproximation beschränkt ist. Bislang konnten keine vertikalen Beschleunigungen berücksichtigt werden und nur kleine Gradienten der freien Oberfläche und des Bodens behandelt werden.
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Hydrodynamischer Druck und Geschwindigkeitsvektoren | |
Im neuen Algorithmus wird die vertikale Beschleunigung durch eine Zerlegung des globalen Drucks in einen hydrostatischen (d.h. barotropen sowie baroklinen) und einen hydrodynamischen Anteil bestimmt. Im Rahmen der fractional step Methode wird die hydrodynamische Komponente aus der Lösung einer Poisson-Gleichung ermittelt, und der hydrostatische Druck explizit aus der Position der freien Oberfläche und dem Dichtefeld berechnet. Das Geschwindigkeitsfeld wird unter Annahme der Inkompressibilitätbedingung aus einer Projektion des Zwischenergebnisses bestimmt, welches ohne hydrodynamischen Anteil berechnet wurde.
Die Lage der freien Oberfläche kann aus der kinematischen Randbedingung oder aus einer konservativen Formulierung (vertikal gemittelte Kontinuitätsgleichung) ermittelt werden. Zur numerischen Lösung stehen wahlweise ein Charakteristiken Verfahren, eine Streamline Upwind Petrov-Galerkin FEM oder eine explizite Finite Elemente Formulierung zur Verfügung.
Alle entwickelten Teile des neuen Algorithmus' sind getrennt mittels analytischer Lösungen verifiziert worden. Der Gesamtalgorithmus ist anhand von Testbeispielen aus dem erweiterten Anwendungsbereich des Modells verifiziert worden, wozu in den meisten Fällen analytische Lösungen herangezogen werden konnten. Es sind interne und Oberflächenwellen, Kanalströmungen über eine Rampe im strömenden und schießenden Zustand sowie wind- und dichtegetriebene Strömungen behandelt worden.
Die Implementierung des neuen Algorithmus' innerhalb des etablierten Programmsytems TELEMAC ermöglicht einem großem Anwenderkreis die sofortige Nutzung für praktische Problemstellungen des Ingenieurwesens und der Geophysik.
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Reference: Jankowski, J.A. (1999) A non-hydrostatic model for free surface flows, Dissertation (PhD Thesis), Institut für Strömungsmechanik und ERiB, Universität Hannover, Report 56/1999, 231pp. |
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